Jan. 14 26

Lattice Cube


Voici un petit casse-tête que j'aime beaucoup, le Lattice Cube :
 

Ce casse-tête est en fait un Dino Cube auquel on a ajouté une rotation sur chaque coin :
 

Puisqu'il s'agit d'une variante de Dino, on peut se douter qu'il n'est pas bien difficile à résoudre mais j'aime ce genre de casse-tête résoluble à coup de 3-cycles.

Les rotations sont souples, la structure est bien pensée. Franchement, c'est un bel objet et un casse-tête amusant !



Auteur de l'article philfully Rubrique Ma collection Nombre de commentaires 6 commentaires

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Commentaires

résolution du Lattice Cube

Tu as utilisé des 3-cycles pour ce cube ?
Perso, j'ai résolu ce cube en le réduisant à un Dino Cube, ce qui se fait assez simplement. Ensuite... Ben c'est un dino cube donc c'est tout bête à résoudre. 
J'avais prévu un 3-cycle (un commutateur avec "grande rotation de coin" d'un côté et une "petite rotation de coin", ce qui donnait un 3-cycle), au cas où, mais je n'ai pas eu à m'en servir.
Tu as rencontré des cas de parité sur ce cube ?

    Philippe

 

Philippe | Le Mardi 19/08/2014 à 16:32 | [^] | Répondre

← Re: résolution du Lattice Cube

philfully J'ai résolu en effet comme un dino une partie du casse-tête et pour les coins, j'ai tout fait avec des cycles, mais c'est totalement intuitif. Pas de parité, non. Je ne pense pas qu'il y en ait, d'ailleurs. Tu as eu un souci de parité ?

 

philfully | Le Mardi 19/08/2014 à 16:40 | [^] | Répondre

Je ne pense pas non plus que ce "Master Dino Cube" (ce qu'est le Lattice Cube, en quelques sortes) présente des parités.
Pour causer un peu "matheux" (il me sembe avoir lu que tu étais prof de maths, donc j'y vais franco), j'ai le sentiment qu'il y a deux sortes de parités:
- les fausses parités, comme celles du Fisher Cube qui correspondent en fait à des arêtes de la couronne équatoriale inversées sans que cela se voit puisqu'elles sont monochrome (je parle des arêtes qui ressemble à des centres, sur le Fisher Cube)
- les parités qui proviennent de réduction comme celles du 5x5x5 ou du 4x4x4 avec la méthde Hardwick. Ici, il s'agit de projeter le groupe des transformations du 4x4x4 sur celui du 3x3x3. Dans la projection, plusieurs positions arrivent sur la même classe.
J'ai le sentiment qu'en fonction de la forme du cube, le groupe des transformations a des propriétés différentes (je n'ai pas creusé, mais je pense qu'on doit y voir plein de signatures de permutations dans A8 et A12). Avec le Lattice cube, j'ai l'impression que le groupe des transformations est très proche de celui du Dino cube : en gros je vois le Lattice Cube comme deux dino cubes emboités (en quelque sorte... bon OK, ce n'est pas clair), ce qui doit simplifier beaucoup la projection de ses transformations sur celles du dino. pour un 4x4x4, les choses sont très différentes d'un 3x3x3.
Je pense aussi (remarque purement intuitive et spéculative) que la signature des transformations de bases jouent beaucoup : sur un cube une rotation de 1/4 de tour bouge 4 coins et 4 arêtes, soit deux permutations de signature -1. Sur un Lattice (ou un dino), on bouge les trucs par paquet de 3, donc des permutations de signature 1. J'ai le sentiment que si les permutations de base ont des signature =1, les parités sont plus simples. Mais c'est totalement spéculatif.

 

Philippe | Le Mardi 19/08/2014 à 19:56 | [^] | Répondre

← Re:

philfully Je suis prof de maths, oui ;) Et j'ai déjà étudié un peu les maths du Rubik's cube quand je préparais l'agrég, donc je peux en parler un peu.

Sur un dino cube, une rotation est un 3-cycle, donc une permutation de signature 1. Donc sur un dino, par composition, les permutations ont toutes pour signature 1. C'est ce que tu as expliqué à la fin.

Pour le lattice, on a un dino auquel on ajoute encore des 3-cycles sur les coins. Donc toute permutation a pour signature 1, que l'on considère une permutation pour les pièces "dino" ou pour les coins. Ainsi, on ne pourra jamais n'échanger que deux pièces sur le lattice.

De façon plus formelle, le dino a 12 pièces, donc le groupe qu'on a est un sous-groupe de S12. Mais puisqu'on ne peut faire que des 3-cycles, on a un sous-groupe de A12. Il y a sinon 24 pièces de coin, sur lesquelles on ne fait que des 3-cycles. Donc là aussi un sous-groupe de A24. Sur un 3x3x3, les sous-groupes de A8 et A12 qu'on a pour les coins et les arêtes sont liés par la propriété que les éléments doivent avoir la même signature (Pas dur à prouver : comme tu l'as dit, une rotation d'un quart de tour engendre une permutation sur les coins et une sur les arêtes qui ont toutes les deux la même signature = -1. Donc par composition, tout mouvement sur le cube engendre des permutations sur les coins et sur les arêtes ayant la même signature). Sur le lattice, on n'a aucun souci de ce type puisque de toute façon, toutes les permutations ont la même signature ! Donc a priori, on doit pouvoir bouger indépendamment les coins et les autres pièces. Tout est permis sauf les transpositions.

On peut donc dire que c'est plus simple, en effet !

 

philfully | Le Mardi 19/08/2014 à 20:24 | [^] | Répondre

← Re:

Il faut se rendre à l'évidence : la théorie des groupes c'est cool ;-)

Tu as des pointeurs sur les permutations liées d'un mégaminx (sous groupe de S20xS30 puisqu'on a 12 faces, 2 coins et 30 arêtes) ? J'ai toujours trouvé que les puzzles de la famille du mégaminx étaient bien plus simples. Bon, sur un cube, quand on bouge une face on en touche 4 autres (donc 5 sur 6 en tout) alors que sur le mégaminx tourner une face modifie 1+5 faces donc 6 sur 12 (la moitié du puzzle ne bouge pas). Mais il y aussi des permutations "par groupe de 5" donc de signature 1. Je me demande si cela n'est pas lié.

 

Philippe | Le Mardi 19/08/2014 à 20:32 | [^] | Répondre

← Re:

philfully Sur un mega, toutes les permutations sont de signature 1, ça c'est clair puisqu'une rotation d'un cinquième de tour engendre des 5-cycles de coins et d'arêtes. On n'a donc pas de lien entre ce qui se passe pour les arêtes et ce qui se passe pour les coins. Ils peuvent bouger indépendamment, avec pour seule restriction que les transpositions sont interdites. C'est effectivement moins embêtant que sur un 3x3x3, pas de souci de parité.

 

philfully | Le Mardi 19/08/2014 à 22:27 | [^] | Répondre
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