Voici une solution simple, bien que très longue, permettant de venir à bout de la Brain Ball.

Tout d'abord, posons quelques notations :
 

La rotation autour de l'axe principal (trait vert) sera notée T (La partie où il est écrit "BrainBall" ne tourne pas). Un nombre  X désigne la rotation de la roue numérotée dans le sens horaire de X treizième(s) de tour. X' désigne le même mouvement mais dans le sens anti-horaire.

La formule magique est : T6T6'T1T6'T6T1', qui n'est pas tout à fait un commutateur, mais qui permet de réaliser deux transpositions simultanées (celles des nombres 3-4 et 7-8 de la photo).

La méthode se décompose en deux étapes :

1) Faire en sorte que toutes les pièces aient la même orientation.

Attention ! Il n'y a qu'un sens possible. Par exemple, sur ma Brain Ball, le côté blanc des pièces doit se trouver du côté où il y a l'inscription "BrainBall". Si on se trompe de sens, on tombe sur un problème de parité insoluble (on ne peut pas finir la résolution car il reste obligatoirement deux pièces à échanger à la fin, ce qui n'est pas possible).

Pour réussir cette étape, il faut faire fonctionner son intuition, et éventuellement finir en utilisant l'algorithme suivant : T2T2'T. Il retourne la pièce 7 de la photo (en déplaçant pas mal de chose, cependant) sans retourner d'autres pièces.

Pour tout retourner, utiliser T5T5T (Attention, là encore on déplace pas mal de pièces !).

2) Remettre les nombres à leur place.

On utilise pour cela l'algorithme donné ci-dessus, éventuellement combiné trois fois de cette façon :
(T6T6'T1T6'T6T4)x2 T6T6'T1T6'T6T4. Cette longue formule permet le cycle des pièces 2 -> 3 -> 4 -> 2 de la photo.

Autant dire que c'est long ! Je n'ai pour l'instant pas trouvé mieux. J'éditerai cette page si je trouve un jour comment faire plus rapide !

EDIT : Bon, pour faire le même cycle exactement, on peut faire beaucoup plus court : T6T6T6T6'T1T. Bien plus efficace pour exactement le même résultat !