Tout d'abord, posons une notation :
 

 

On notera L4 le fait de tourner la roue gauche de 4 billes dans le sens horaire, R-3 le fait de tourner la roue droite dans le sens anti-horaire.

1 - Résoudre les billes noires et rouges :

Sur ma version, il y a 10 billes rouges, 10 noires, 9 jaunes et 9 bleues. On commence par remettre ensemble toutes les billes noires et toutes les billes rouges. Cela se fait intuitivement, nulle besoin d'indiquer une méthode.

2 - Finir :

Pour terminer la résolution, c'est-à-dire remettre les billes bleues ensemble et les jaunes ensemble, on va utiliser un petit commutateur qui a pour but de réaliser l'échange suivant :
 

Il suffit de faire [L5,R5] = L5 R5 L-5 R-5. Ce commutateur réalise deux transpositions indépendantes. L'idée est de commencer par faire un set-up qui ramène deux billes à échanger aux positions des billes jaunes et rouges échangées sur la photo ci-dessus.

Par exemple, supposons qu'on veuille réaliser l'échange suivant :
 

On commence par appliquer le set-up L-3 R7 :
 

 

Ce set-up a donc ramené les deux billes à échanger aux emplacements souhaités (Trait vert du haut). Elles vont être échangées par le commutateur. Ce dernier va aussi échanger deux autres billes qui sont toutes les deux noires, ce qui n'aura visuellement aucun effet. On obtient le résultat suivant :
 

 

Ensuite, on défait le set-up (R-7 L3) pour obtenir l'effet désiré :
 

On remarque que ce qui fait le succès de cette opération, c'est le fait que tandis qu'on échange deux billes bleues et jaunes, les deux autres échangées sont noires. Cette particularité impose une restriction sur le choix des billes à échanger. Il faut tourner la roue droite au moins de 5 billes dans le sens horaire afin d'avoir deux billes noires aux positions qui vont être échangées en bas.